Наталья Рашидовна, подскажите, пожалуйста, может ли после прививки (сделали превенар и пентаксим) повысится уровень лейкоцитов с крови? Назначили антибиотики.

Не может. Выложите анализ крови полностью. Антибиотиками анализы не лечатся. Какие жалобы?

Только насморк. Кашляет, когда спит. Горло смотрел врач не красное.

Рентген легких, отоскопия и анализ мочи.
Анализ крови сомнительный - совершенно неоднозначный в плане определения бактериальной и вирусной инфекции. Жалобы Вы описываете типично вирусные.